-소리 진동수의 비례로 음계를 쌓다-

노래를 부르거나 음악을 듣다 보면 자연스럽게 발 박자를 맞추거나 손이나 발을 까딱거리는 것을 볼 수 있다. 그리고 R&B 가수들의 경우 그들의 음의 변화를 표현하기 위해 손을 위아래로 움직이는데 이는 꼭 악보의 음표들을 그리는 듯하다.
음악을 구성하는 박자와 음계에 대해 살펴보자. 먼저 음의 길이를 표현하는 음표를 알아보자.

를 나타낸다. 형식을 살펴보면 가장 작은 단위인 마디에서부터 생각해 볼 수 있는데 마디 두 개가 동기가 되고 동기 두개가 모여 작은악절이 되고 작은악절 2개가 모여 큰악절이 된다. 큰악절 하나로 구성되어 있는 경우를 1도막 형식이라고 하는데 이는 주로 간단한 동요에서 볼 수 있는 형식이고 큰악절이 2개가 모이면 2도막 형식이 된다.

이와 같이 음표나 음악의 형식은 모두 2의 배수로 되어 있다. 또한 많은 음악이 일정한 멜로디가 반복되거나 일정하게 높아지고 낮아지는 반복 패턴을 형성한다. 또한 멜로디를 형성하는 음계에 숨어 있는 수학은 더욱 더 환상적이다. 그렇다면 이러한 음계는 어떻게 만들어졌을까?

음의 높낮이는 연속적인 성질을 가진다. 이러한 높낮이를 악기로 구현하려면 몇 개의 이산적인 계단으로 만들어야 하는데, 그 계단의 수에 따라 5음계, 7음계, 12음계 등으로 음계를 구분하게 된다. 그런데 그 계단을 만드는 작업이 그리 쉬운 것은 아니다. 이 작업을 가장 먼저 한 사람으로 피타고라스를 들 수 있다.

피타고라스는 실의 길이가 1, 2/3, 1/2이 될 때 나는 세 음이 가장 잘 어울린다는 사실을 발견하였다. 소리의 진동수는 실의 길이에 반비례하므로, 진동수가 1, 3/2, 2일 때 세 음이 조화를 이루게 된다. 이러한 사실은 피타고라스가 아니더라도 음악에 관심이 있는 사람은 어렵지 않게 발견할 수가 있었을 것이다.

피타고라스는 두 음의 진동수가 2:1의 관계에 있을 때 공명이 가장 잘 되기 때문에 이를 1 옥타브 높은 같은 계명으로 정하였다. 피타고라스는 도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시의 7개의 음을 선정하여, 진동수가 2배가 되는 음을 ‘높은 도’로, 진동수가 이 되는 음을 ‘도’보다 5도 높은 ‘솔’로 정하였다. 이렇게 되면 ‘도’는 진동수 1, ‘솔’은 진동수 3/2, ‘높은 도’는 진동수 2가 되므로, 나머지 각각의 음에 해당되는 진동수는 다음과 같이 구할 수 있다.

① ‘솔’보다 5도 높은 ‘높은 레’는 3/2 x 2/3=9/4가 되고, 그러므로 이보다 1 옥타브 낮은 ’레’는 9/4 x 1/2=9/8가 된다.
② ‘레’보다 5 옥타브 높은 ‘라’는 9/8 x 3/2=27/16 이며,
③ ‘파’는 ‘높은 도’보다 5도 낮으므로, 2 x 2/3=4/3가 된다.
④ ‘낮은 라’는 ‘라’보다 1 옥타브 낮으므로 27/16 x 1/2=27/32가 된다. 그러므로 ‘미’는 ‘낮은 라’보다 5도 높기 때문에 27/32 x 3/2=81/64 이다.
⑤ ‘시’는 ‘미’보다 5도 높으므로 81/64 x 3/2=243/128이다.

그러므로 7음계의 진동수는 순서대로 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2가 되며, 진동수는 실의 길이에 반비례하므로 그 역수를 취하면 실의 길이를 구할 수 있게 된다.

만약 피타고라스가 7음계를 택하지 않았다면 어떻게 될까? 수학적으로 계산할 때 피타고라스가 택할 수 있는 수는 그리 많지 않다. 그러나 복잡한 수학적 계산을 하지 않더라도 우리는 쉽게 5음계나 혹은 10음계 정도를 택할 수 있을 것이다.

5음계를 택했다고 하자. 그리고 이를 A, B, C, D, E라고 이름을 붙이자. 진동수가 2가 되는 음을 ‘높은 A’로 정하고, 진동수가 3/2가 되는 음을 ‘C’로 정하면 위와 같은 작업을 할 때 몇 가지 문제가 생긴다. 그러므로 진동수가 3/2이 되는 음을 ‘D’로 정하자. 그러면 위와 같은 작업을 할 때, 각각의 음에 대한 진동수는 A(1), B(9/8), C(4/3 또는 81/64), D(3/2), E(27/16)가 된다. ‘C’의 진동수가 계산 방식에 따라서 다르게 나오지만 크게 차이가 나지는 않는다.

여기서 피타고라스는 왜 7개의 음을 사용하였을까? 7이라는 수는 동서고금을 막론하고 좋아하는 수이기는 하지만, 보다 합리적인 이유가 있다. 진동수의 비가 3/2이 되도록 음을 계속 쌓아 올려보자. 물론 진동수의 비가 2를 넘으면 2로 나누어서 아래 옥타브로 가져와야 한다. 그러면 도, 솔, 레, 라, 미, 시, 파, 도로 이어진다. 그래서 피타고라스가 7개의 음을 사용했다고 할 수 있을 것이다.

음악이 복잡해지면서 피타고라스의 음율의 불편함이 나타나기 시작하자, 좀더 간단한 진동수의 비를 이용하여 새로운 음계를 만들게 된다. 이것을 순정율이라고 한다. 피타고라스의 음계를 수정한 것으로 중간음율이라는 것도 있다. 중간음율은 5도 순환을 3/2으로 하지 않고 약간 수정한 것이다. 이 중간음율은 18세기 후반까지 널리 보급되었다. 그러나 피타고라스의 음율이나 중간음율 모두, 두 음 사이의 진동수의 비가 일정하지 않기 때문에 조를 바꿀 때 문제가 생기게 된다. 그래서 12개의 반음으로 평균하여 등분하는 12평균율이 등장하게 된다. 그렇게 되면 두 음 사이의 진동수의 비가 모두 같으므로 조를 옮기는 데 아무 문제가 없게 된다.

그러면, 평균율에서의 진동수의 비를 알아보자. 앞서 피타고라스의 음계 중에서 두 음 사이의 진동수의 비가 큰 부분에 반음을 넣어서 모두 12개의 음을 만든다. 다음에는 ‘도’의 진동수를 1이라고 하고, ‘도#’의 진동수가 ‘도’의 진동수의 a배라고 하자. ‘레’의 진동수의 비 역시 ‘도#’의 진동수의 a배이며, 이것은 ‘높은 도’가 될 때까지 마찬가지이다. 그러므로 axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa=2가 된다. 그러한 값을 구하기는 어렵지만 계산기를 사용하면 a≒1.0595가 됨을 알 수 있다. 그러한 진동수의 비를 표로 나타내면 위의 표와 같다.

피타고라스는 만물은 수로 되어 있다고 하면서, 음악에서의 아름다운 소리도 결국 자연수의 비로 나타낼 수 있다고 주장했었다. 음악이 복잡해지면서 피타고라스의 음율은 현악기에 한정되어 사용되고 건반악기에는 평균율이 사용되면서, 피타고라스의 생각이 옳지는 않다고 판정되었다. 그렇지만 순정율이 화음을 구성할 때 가장 아름다운 화성을 가지고 있다는 점에서 피타고라스의 생각이 완전히 잘못된 것은 아니라는 생각도 든다. 음악이 귀로 들을 수 있는 아름다움이라면, 수학은 이성의 아름다움 아닐까?

<자료제공|김정하ㆍ인천건지초등학교교사>
<그림|